Le chapitre 1 est consacr\u00e9 aux extensions de corps. Une extension d’un corps K est un autre corps L contenant K. C’est un espace vectoriel sur K et s’il est de dimension finie, tous les \u00e9l\u00e9ments de L sont alg\u00e9briques sur K, c’est-\u00e0-dire racines d’un polyn\u00f4me \u00e0 coefficients dans K. L’intervention de l’alg\u00e8bre lin\u00e9aire dans le sujet permet de donner une r\u00e9ponse rapide \u00e0 certains probl\u00e8mes de construction \u00e0 la r\u00e8gle et au compas pos\u00e9s dans l’Antiquit\u00e9.<\/p>\n
Mais la notion essentielle dans ce domaine est celle du groupe des automorphismes de l’extension, appel\u00e9 aussi groupe de Galois. Le th\u00e9or\u00e8me fondamental de Galois \u00e9tablit une correspondance entre sous-extensions de L et sous-groupes du groupe de Galois, ce qui fournit une compr\u00e9hension profonde de la structure de l’extension. Pour illustrer ce th\u00e9or\u00e8me on en tire la condition n\u00e9cessaire et suffisante de r\u00e9solubilit\u00e9 par radicaux d’une \u00e9quation alg\u00e9brique d\u00e9couverte par Galois en 1829 (c’est dans ce but que Galois a introduit la notion de groupe).<\/p>\n
Le chapitre 2 est consacr\u00e9 aux corps finis. On donne encore comme application un r\u00e9sultat classique, la liste des polygones r\u00e9guliers constructibles \u00e0 la r\u00e8gle et au compas (Gauss, 1801, Wantzel, 1837). Le point cl\u00e9 de la d\u00e9monstration est le fait que le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique. Le sujet des chapitres 3 et 4 est la th\u00e9orie des ensembles. Celle-ci est l’outil quotidien des math\u00e9maticiens, qui l’utilisent \u00ab\u00a0intuitivement\u00a0\u00bb, mais il faut bien un jour affronter les points d\u00e9licats.<\/p>\n
Le chapitre 3 a pour objectif la notion de bon ordre. Le chapitre 4 pr\u00e9sente l’axiomatique de la th\u00e9orie des ensembles et les cardinaux. le lien entre lemme de Zorn, axiome du choix et principe de Zermelo est \u00e9tudi\u00e9 en d\u00e9tail.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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